TÉLÉCHARGER OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE

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Nom: optimisation et analyse convexe
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Licence:Libre (*Pour usage personnel)
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Taille:46.60 Megabytes

Le cadre de travail est volontairement simple, l'auteur a voulu insister sur les idées et mécanismes de base davantage que sur des généralisations possibles ou des techniques particulières à telle ou telle situation. L'approche retenue pour avancer est celle d'une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict. Pour ce qui est de l'enseignement, les aspects de l'optimisation et analyse convexe traités dans cet ouvrage trouvent leur place dans les formations de niveau M1, parfois L3, modules généralistes ou professionnalisés et dans la formation mathématique des ingénieurs en 2e année d'école, parfois en 1re année.

La connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple.

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Optimisation et analyse convexe : Exercices et problèmes Près de exercices et problèmes sont corrigés, parfois commentés et situés dans un contexte d utilisation ou de développement historique, gradués dans leur difficulté par un, deux ou trois : Exercices plutôt faciles applications immédiates d un résultat du Cours, vérification d un savoir-faire de base, etc.

De difficulté moyenne, ce sont de loin les plus nombreux ; Exercices plus difficiles, soit à cause de certains calculs à mener à bien, soit simplement en raison d un degré de maturité plus grand que leur résolution requiert.

Comme tous les exercices de mathématiques, ceux présentés ici ne seront profitables au lecteur-étudiant que si celui-ci les travaille, un crayon à la main, sans 7 Optimisation et analyse convexe regarder la correction dans un premier temps.

Les problèmes dits variationnels requièrent dans leur traitement une intervention plus grande de la Topologie et de l Analyse fonctionnelle, à commencer par le cadre fondamental des espaces de Hilbert ; ils seront abordés dans un prochain recueil.

Chaque chapitre débute par des rappels de résultats essentiels, ce qui ne doit pas empêcher le lecteur-étudiant d aller consulter les références indiquées à la fin du livre.

L approche retenue est celle d une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict : ainsi, par exemple, la fonction A M n R ln déta est d abord considérée pour un calcul de différentielles, puis pour sa convexité, puis plus tard en raison de son rôle comme fonction-barrière dans des problèmes d optimisation matricielle.

Pour ce qui est de l enseignement, les aspects de l Optimisation et Analyse convexe traités en exercices ici trouvent leur place dans les formations de niveau deuxième cycle universitaire modules généralistes ou professionnalisés et dans la formation mathématique des ingénieurs, sur une durée d un semestre environ ; la connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple.

La plupart des exercices et problèmes proposés, sinon tous, ont été posés en séances d exercices ou examens à l Université Paul Sabatier de Toulouse.

optimisation et analyse convexe

Je voudrais remercier les anciens étudiants ou jeunes collègues qui ont bien voulu relire une première version de ce document et y relever une multitude de petites fautes il en reste sûrement Mallard, M. Torki, Y. Lucet, C. Imbert et J. Enfin je ne voudrais pas oublier A.

Andrei pour la part primordiale qui a été la sienne dans la saisie informatique de l ouvrage. Hiriart-Urruty 8 Introduction Depuis sa publication il y a dix ans en mars , cet ouvrage a subi les vicissitudes d un document de formation destiné à un public d étudiants en sciences en nette diminution.

Il a été traduit en russe par des collègues de Kiev Ukraine en , mais la version française originelle n est plus disponible depuis Ainsi, pour répondre à une demande de collègues et étudiants, un nouveau tirage a été envisagé.

Guin directeur de la collection Enseignement Sup Mathématiques , d avoir accueilli ce projet. Aude Rondepierre a donné un coup de main pour reprendre les fichiers informatiques anciens ; qu elle soit remerciée de sa bonne volonté et efficacité.

Toulouse, printemps J. Pour une fonction f différentiable en x resp. D 2 f x désigne la différentielle seconde de f en x.

Optimisation et analyse convexe

Si la variable est réelle et notée t , on utilise la notation f t resp. Pour une fonction numérique f définie sur un ouvert O de R n, différentiable en x O resp. Lorsqu elle existe, la dérivée directionnelle de f en x dans la direction d est notée f x, d.

Pour une fonction vectorielle f : O R n R m différentiable en x O, Jf x désigne la matrice jacobienne de f en x matrice à m lignes et n colonnes. I n ou I quand il n y a pas d ambiguïté : matrice-unité de M n R , i.

A ou t A : transposée de A M m,n R [les deux notations sont d un usage très courant ; par contre A t est à proscrire car génératrice de confusions].

Lorsque A est inversible, A désigne l inverse de A ou, ce qui revient au même, la transposée de A 1. S n R :ensemble des matrices de M n R qui sont symétriques.

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Sauf indication contraire, R n est muni de sa base canonique ; ainsi à A M m,n R est canoniquement associée une application linéaire de R n dans R m, d où les notations Ker A, ImA, etc. Si, par exemple, u et v sont deux vecteurs de R n,uv estunematricecarréedetaillendont le terme général est u i v j, alors que u v est la matrice-scalaire ou scalaire n u i v j.

Si l on représente l ensemble des formes linéaires sur E par E via le produit scalaire, idem pour F , prendre l adjointe de l ou sa transposée revient au même. Si X est muni d un produit scalaire, exemples typiques : R n, M m,n R , et en l absence d autres précisions, désignera la norme dérivée du produit scalaire i. Lorsqu interviennent à la fois des normes de vecteurs et de matrices, on évite les confusions en utilisant pour les vecteurs et pour les matrices.

Optimisation et analyse convexe Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

B x, r :boule fermée de centre x et de rayon r. On désignera par P n R l ensemble des matrices semi-définies positives de taille n. On désignera P n R l ensemble des matrices définies positives de taille n. Même chose si l est une forme linéaire sur un espace euclidien E,, : l s écrit de manière unique sous la forme v,, oùv E.

Si H est un sous-espace vectoriel de R n, H désigne son sous-espace orthogonal. Révision de bases : calcul différentiel Mêmes remarques pour l application X X 1.

Si K est un cône convexe fermé d un espace euclidien E,, , le cône polaire K de K est le cône convexe fermé de E défini comme suit : I. Désignant par j f x la dérivée partielle en x de f par rapport à la j e variable, f x est le vecteur de R n de composantes 1 f x , Une manière équivalente d exprimer 1.

On appelle alors matrice jacobienne de F en x, etonnotejf x la matrice de M m,n R dont les lignes sont [ f 1 x ], Fonctions convexes Revenant à une fonction numérique f : O R n R différentiable sur O, on dit que f est deux fois différentiable en x Olorsque f : O R n R n est différentiable en x.

Enfin deux ensembles de résultats de Calcul différentiel sont essentiels en Optimisation : le théorème de la fonction implicite et le théorème d inversion locale ; les développements de Taylor sous leurs formes diverses. À revoir si nécessaire. Rappelons deux résultats essentiels : Théorème.